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正定矩陣

關鍵詞:"矩陣""正定矩陣"     我要發布新的信息
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       在線性代數里,正定矩陣 (英文:positive definite matrix) 有時會簡稱為正定陣。在雙線性代數中,正定矩陣的性質類似復數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性算子是對稱正定雙線性形式(復域中則對應埃爾米特正定雙線性形式)。

廣義定義

設M是n階方陣,如果對任何非零向量z,都有 z'Mz > 0,其中z' 表示z的轉置,就稱M正定矩陣。例如:B為n階矩陣,E為單位矩陣,a為正實數。aE+B在a充分大時,aE+B為正定矩陣。(B必須為對稱陣)

狹義定義

一個n階的實對稱矩陣M正定的當且僅當對于所有的非零實系數向量z,都有z’Mz> 0。其中z’表示z的轉置。

2特征及性質

正定矩陣在合同變換下可化為標準型, 即單位矩陣。
所有特征值大于零的對稱矩陣(或厄米矩陣)也是正定矩陣。
判定定理1:對稱陣A為正定的充分必要條件是:A的特征值全為正。
判定定理2:對稱陣A為正定的充分必要條件是:A的各階順序主子式都為正。
判定定理3:任意陣A為正定的充分必要條件是:A合同于單位陣。
正定矩陣的性質:
1.正定矩陣一定是非奇異的。非奇異矩陣的定義:若n階矩陣A的行列式不為零,即 |A|≠0。
2.正定矩陣的任一主子矩陣也是正定矩陣。
3.若A為n階對稱正定矩陣,則存在唯一的主對角線元素都是正數的下三角陣L,使得A=L*L′,此分解式稱為 正定矩陣的喬列斯基(Cholesky)分解。
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發表時間 (2014/11/6 10:27:51)
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